La déraisonnable efficacité des mathématiques

 

 

 

Contexte du débat

Parmi les physiciens indiens et français contemporains,  trouve-t-on un penchant idéaliste, platonique ? Nous leur avons posé cette question :

Les mathématiques sont-ils un outil inventé par les humains ou bien une réalité transcendante ?

Nous cherchons à travers cette question à mieux saisir la relation de nos physiciens avec la réalité mathématique, comment ils la perçoivent, dans son lien notamment avec l’esprit et le réel matériel. Nous cherchons encore ici, à mieux saisir l’influence potentielle des rapports traditionnels au réel, avec les conceptions actuelles des physiciens.

 

Comment les mathématiques parviennent-ils à décrire si bien la nature alors qu’ils sont le fruit d’imaginations humaines qui agissent souvent sans vocations à décrire le réel ? C’est une interrogation fréquente pour les physiciens. Un texte célèbre écrit par le physicien lauréat du prix Nobel de physique Eugene Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ”(Wigner 1960) exprime bien le désarroi de nombreux physiciens face à ce mystère. Einstein l’a formulé ainsi : «Comment se fait-il que les mathématiques, étant après tout un produit de la pensée humaine qui est indépendante de l’expérience, soient si admirablement adaptées aux objets de la réalité ? » (Einstein 1921). De nombreux exemples de l’histoire des sciences montrent des objets mathématiques inventés sans objectif d’utilité, et quelques années plus tard, cet objet mathématique servira de manière inattendue à décrire un objet physique. Les nombres complexes, par exemple, impliquent la racine carrée de nombres négatifs. Il n’en existe pas d’analogie dans la nature. Comment alors peuvent-ils formuler et mettre en corrélation de manière si efficace des phénomènes physiques ? Ou encore les espaces de Hilbert de dimension infinie, qui jouent un rôle décisif dans les formulations précises de la mécanique quantique ? Comme l’a remarqué l’anthropologue A. Roy, dans sa thèse, cette déraisonnable éfficacité des mathématiques un casse-tête grave pour la plupart des physiciens (Roy 2011 p32). Et la réaction des physiciens devant ce casse-tête est un objet fascinant pour l’anthropologie. Pourquoi l’esprit et la matière, sont considérés comme séparés par certains et pourquoi leur relation – à travers les mathématiques- est-elle considérée comme déroutante ? Les origines de cet étonnement face à la déraisonnable efficacité des mathématiques, touchent pour cette A.Roy, à l’opposition métaphysique de l’esprit et du monde. Elle note ainsi que, si l’esprit et le monde sont habituellement supposés hétérogènes et séparés, tout ce qui suggère leur interrelation semblera mystérieux. Du point de vue de l’anthropologie comparative, on peut supposer que le mystère peut-être moins exorbitant pour les Indiens d’Amazonie du Brésil qui ne sont pas perplexe face à l’intimité de l’esprit et du monde  ou la Chine ancienne qui a observé une logique plutôt sophistiqué des oppositions et des dualismes – cependant, soigneusement  transcendé. Est-ce également le cas des Indiens actuels (d’Inde) issus d’une culture où un tel dualisme – entre l’esprit et le monde – est également transcendé ?

Nous n’allons pas ici développer une réponse au problème philosophique de la déraisonnable efficacité des mathématiques. Il a déjà été traité par ailleurs[1]. Nous nous intéressons aux postures métaphysiques ou adhésions thématiques que l’on peut déceler chez les physiciens par leurs réactions devant ce mystère. Les idées mathématiques existent-elles de manière indépendante, et le monde se révéle-t-il arrangé selon ce langage ? Ou bien, les mathématiques ne sont-elles qu’un outil, une abstraction du réel proposé par la pensée humaine inspirée par l’observation de la nature ? Au-delà d’une classification idéaliste-platoniste/empiriste[2], ce qui nous intéresse est de dresser un lien entre les réponses apportées par les physiciens et ce que cela nous dit de leur rapport au réel.

Questions posées et répartition des réponses

Nous avons cherché à identifier les postures des physiciens par la réponse qu’ils apportaient à la question :  

les mathématiques sont-ils un outil crée par les humains pour décrire la nature ou bien, une réalité indépendante ?

 

Mathématiques

Français

Indiens

Réalité indépendante

38%

40%

Outil

53%

57%

Les deux

9%

3%

Tableau 13 : répartition des réponses des deux groupes de physiciens indiens et français, à la question : les mathématiques sont-ils un outil crée par les humains ou bien, une réalité indépendante ?

 

Au vu de la répartition des réponses, nous pouvons observer la grande similarité entre physiciens indiens et français. A quoi peut-elle être due ? S’ils répondaient tous « les mathématiques sont une réalité indépendante », on pourrait trouver une raison dans l’énoncé de l’exposé, mais ils sont relativement partagés entre les deux réponses, avec un léger avantage pour les mathématiques perçues comme « outil ».

Ceux qui répondent « outil » sont a priori plutôt du côté d’Aristote, et donc empiristes. Quant aux autres, ceux qui répondent « réalité indépendante », sont plus du côté de Platon, donc idéalistes. D’après les réponses, les Indiens sont légèrement moins idéalistes qu’empiristes, et à peu près autant que les Français.

Qu’est ce qui motive une réponse plutôt qu’une autre ? Etudions les réponses apportées, dans leur détail.

 

Analyse des reponses des physiciens indiens

Les mathématiques sont un Outil

Un peu plus nombreux à opter pour une vue empiriste, les physiciens indiens qui concoivent les mathématiques comme un outil ont différents arguments :

Les mathématiques sont un langage

Le théoricien I.U voit les maths comme un langage, issu de l’observation. « That is the reason why they look real.” Pour le physicien A.J également, : « it is a tool, a language. You have to accept what answer this language uses, you can not make your own sentences”. Pour L.T, les mathématiques sont bien un langage, qui nous permet de juger. Donc, si les mathématiques ont l’air si réelles, c’est parce que elles ont été conçues comme un langage devant se rapporter au réel. On comprend donc mieux le lien dont nous avons parlé plus haut entre mathématiques et sanskrit, et pourquoi ces deux disciplines sont enseignées conjointement.

Sont en lien avec la logique

Nous avons évoqué plus haut l’importance de la logique pour les traditions savantes indiennes. La physicienne L.K. conçoit les mathématiques comme un outil qui découle de la logique : ” mathematics as such is set of tools purely follow from logic, then you make connections and those can be true or false”.

Sont fondés sur la pensée

Cet outil est basé sur la pensée. L.H explique : ”I’d like to put it as a tool which we have constructed. It all started will counting actually, when people wanted to count or think.” “I believe that mathematics is a tool, you will certainly disagree. It uses human concept like counting and other processes” dit W.M. Et selon N.J, “It is a tool built by humans, because whithout a human thought, there is no mathematics”. Comme l’explique aussi U.J, c’est l’esprit humain qui pense les maths car on peut imaginer des choses mathématiques qui n’existent pas. Pour eux, il n’y a pas de réalité platonicienne.

 

Réalité

Des réalités mathématiques existent dans la nature et même au delà

L’un des arguments évoqués pour soutenir l’existence indépendante des mathématiques est le même que celui qui vient d’être évoqué par N.J pour soutenir la posture inverse ! Que la pensée mathématique surpasse le réel. Ce recours à des arguments identiques pour soutenir des points de vue opposés est typique d’un themata. Ainsi le théoricien U.X estime que l’imagination mathématique peut dépasser le réel, par exemple les 12 dimensions, et que ce sont nos sens qui sont limités. Un autre théoricien, T.P dit : “the physical world is a representation of mathematics. This is the platonic view, yes ? » C’est en effet ce que l’on appelle le platonisme, ou l’idéalisme. Pour J.O également, “la nature est mathématique”. Le physicien I.J estime quant à lui que “The use of mathematics reveals unsuspected connections in nature. Most of the laws of physics can be extracted from simple symmetry principles and conservation laws. Thus the unreasonable “effectiveness” of mathematics in its application to physics is probably anchored in the fact that nature at its most basic level turns out to be that of a homogeneous space-time symmetric plasma with integrable dynamics that obeys various symmetry principles and conservation laws. The metastable, highly compressed homogeneous initial state of the universe that gave rise to inflation and the big bang may be the reason why such simplicity is inherent to basic physical phenomena”. Ainsi, c’est le caractère symétrique et simple de l’évolution de l’univers qui aurait engendré des lois symétriques et simples dans lesquelles sont sculptées les mathématiques. Les mathématiques sont à ce point transcendantes qu’elles induisent chez certains une sorte de peur et de sacralisation. C’est le cas de L.L: “I am afraid of mathematics. I think most of the physicists are afraid of maths. It is a kind of reverence, and fear”.

référence au langage

Pour la physicienne R.W, les mathématiques sont comme le Sanskrit qui est, trouve-t-elle, une langue très mathématique. Parmi ses trois sœurs, deux ont fait des études de mathématiques. Et sa mère enseignait le sanskrit. Les maths ont leur réalité propre, estime-t-elle et la nature peut être décrite par les mathématiques comme elle peut l’être par le langage. « Since my last year in college, I was not sure weather I will do math or physics. I decided physics, because maths didn’t describe nature. It can be on its own, it doesn’t need nature. It has its own structure, and some of them describe nature. It has its own language. I give you an exemple, complex numbers has been invented before being used by physics“.

 

Analyse des réponses des physiciens Français

Outil

On trouve le même type d’arguments chez les physiciens français avec quelques variations notables. Tout d’abord, le caractère mystérieux semble plus fort pour les physiciens français. Pour ceux qui conçoivent les mathématiques comme un outil, cela reste pour nombre d’entre eux, comme J.J « un des plus grands mystères ». P.Z pense qu’ « il y a des choses troublantes…  De pouvoir se servir des géométries lobachevskiennes par exemple, alors qu’elles on été crées il y a 2 siècles, et qu’elles correspondent si bien à la réalité expérimentale, à 10-12 près… » J.I dit : « c’est un mystère que je traine depuis que j’ai lu Einstein. A priori c’est une création humaine, mais je suis fasciné par correspondance, telles que celles des propriétés topologiques étudiées par Euler, et que j’ai utilisées en 2005 pour décrire un certain type de matériaux isolants ». Et pourtant, il reconnaît qu’il a « du mal à les penser comme pure création ». C’est typique des themata : la difficulté à adopter une vision du monde malgré tous les arguments existant.

référence au platonisme

On trouve des arguments similaires pour justifier l’invention des mathématiques par l’esprit. Il existerait des formes mathématiques qui n’existent pas dans la nature, donc elles ne seraint pas transcendantes. Pour P.X, par exemple, « des hommes ont pu penser les mathématiques non euclidiennes mais ce n’est pour autant qu’elles existent dans la nature ».  Les physiciens français se réfèrent beaucoup au platonisme, plus que les Indiens. Ainsi U.Z se dit antiplatonicien : « Tout ce que l’on manipule est inventé par l’homme », dit-il. A.A. s’interroge « Suis-je platonicienne ou pas ? Les deux. Mais c’est certainement un outil ». Selon X.I, « il n’existe pas de monde des mathématiques, des idées de Platon ».  Le physicien des particules F.I estime que c’est un outil, car tout est fabriqué : la réalité est ce que l’humain observe. « Les gens font cette erreur d’être platonicien, dit X.Z, car les mathématiques nous permettent la généralisation dans un seul schéma formel. C’est ce qui définit l’objectivité. » P.Z pense que c’est l’homme qui construit les idées mathématiques. « Avec son cerveau, qui est déjà rempli de tout ce qu’un cerveau peut penser, donc elles sont déjà toutes là. » Pour lui, si les maths sont si universelles, si objectives, c’est qu’elles sont liées à notre manière de penser. Ces réponses sont proches de celles des physiciens indiens, même si elles n’utilisent pas le même vocabulaire. L’idée est de dire que les mathématiques sont un produit de l’esprit et que si elles semblent si proches du réel, c’est que c’est l’esprit qui perçoit le réel.

 

Réalité

Il y a parmi les physiciens français, comme parmi les Indiens de purs platoniciens. U.R dit que « C’est parce que le monde s’écrit comme ca qu’il est mathématique. Les maths sont inséparables de la matière elle-même ». Pour X.P, « les mathématiques sont un monde de formes dont l’organisation est indépendante de nous ». L’argument pour soutenir cette vision des choses est le même que pour les Indiens : « Est-ce qu’il y une mathématique qui n’a jamais trouvé d’application en physique ? » Les extra-terrestres viennent aussi à la rescousse. Ainsi X.U estime que les mathématiques sont une réalité indépendante des hommes, car « un extra-terrestre ferait les mêmes mathématiques ».  Pour le post-doctorant J.N aussi, « les extra-terrestres seraient d’accord sur ces maths, même si ils comptent sur seize doigts ». N.I estime également que des extra- terrestres aboutiraient aux mêmes maths ».

 

L’entre deux

Il y a des physiciens indiens et des physiciens français qui se positionnent de manière intermédiaire. Pour le physicien indien J.T, les mathématiques sont à la fois indépendantes et construites, de la même manière que la vérité est indépendante des individus particuliers sans pour autant être dépendante des humains. « Des maths inventés par n’importe quel individu sont les mêmes et sans doute par n’importe quel être vivant, ils n’existent pas pour autant de manière indépendante des esprits qui les conçoivent ». Pour le physicien français J.Y, il y a dans notre cerveau ou ailleurs une logique mathématique, elle est donc indépendante mais nous l’utilisons, donc, elle devient un outil. G.G. prend l’exemple des chiffres 1, 2, 3 qui sont une réalité transcendante indépendante des humains mais leur formalisme dépend des humains.

 

Biais lié à la discipline de recherche

Cette différence d’opinion pourrait être dûe purement à une différence entre théoriciens et expérimentateurs. L’un des physiciens, P.Q, lui-même expérimentateurs en physique des particules, suppose que les théoriciens conçoivent davantage les mathématiques comme une réalité alors que les expérimentateurs les percevraient comme un outil. R.K. aussi est de cet avis. Ce n’est pas ce qui ressort de nos entretiens. Les théoriciens ne conçoivent pas tous les mathématiques comme une réalité, loin de là, et l’inverse n’est pas vrai pour les expérimentateurs. Plusieurs théoriciens répondent « outil », et inversement, plusieurs expérimentateurs répondent « réalité ». D’ailleurs, deux des expérimentatrices (N.T, N.X) sont issues de la même discipline et ont deux réponses opposées. Donc la discipline n’est apparemment pas un critère qui joue.

 

Biais lié à l’âge

En observant, comme pour chaque question, si un bias lié à l’âge des répondants apparaît, nous trouvons que les jeunes indiens répondent davantage que leurs aînés, que les mathématiques ne sont pas une réalité transcendante. Ce n’est pas le cas en France, les réponses sont mieux réparties quelque soit l’âge. Nous analysons ce résultat dans l’annexe (p107) qui concerne l’évolution des jeunes physiciens indiens.

influence culturelle

Nous observons, grâce à l’analyse des réponses que les physiciens indiens entrevoient les mathématiques comme un langage. Nous avons souligné plus haut l’importance de la grammaire dans la construction des sciences en Inde et le rôle central du langage dans la vision du monde des traditions savantes indiennes. Nous retrouvons donc cette idée, à travers l’utilisation des mathématiques.

Et en France ? Dans l’enseignement, il existe une forte priorité donnée aux mathématioques en France. Ce n’est pas le cas en Allemagne ou au Royaume-Uni raconte un physicien français interrogé (J.X). « En France, dit un autre physicien (P.X), j’ai l’impression que les gens sont bloqués par les maths, beaucoup les craignent, sont rebutés par la science à cause des maths. Il y a une trop forte focalisation sur les maths. Même au niveau médiatique, les maths sont diabolisées, quand elles ne sont pas sacrées. » Est-ce que finalement, le lien de ces deux pays, l’Inde et la France, avec les mathématiques n’est pas similaire et assez spécifique, comparé aux autres pays ? Aurions nu eu les même réponses avec des physiciens anglais ou américains ? Le physicien J.X estime que les mathématiques « sont très théoriques en France. En Inde, c’est pareil, j’ai l’impression ». Il pourrait donc y avoir, une spécificité probable et partagée de l’Inde et de la France dans leur rapport et leur utilisation des mathématiques, par rapport à d’autres pays. Dans l’importance qu’ils accordent aux mathématiques, ces deux cultures se ressembleraient, ce qui expliquerait la similarité des réponses apportées à cette question, si partagées entre physiciens.

Principaux résultats

  • Physiciens indiens et français paraissent très proches dans leur approche du lien entre mathématiques et réel, très divisés surtout.
  • Quelques arguments différents : références au platonisme, aux extra-terrestres plus forts chez les physiciens français.
  • Ce qui est notable chez les physiciens indiens, c’est leur référence au langage. Ils entrevoient bien plus les mathématiques comme un langage.
  • Référence à Weinberg et sa déraisonnable efficacité des maths, par certains Indiens et Français. La culture scientifique semble commune !
  • Biais culturel probable pour les Français et les Indiens sur le rôle important des mathématiques.

Discussion

L’Inde est une terre très féconde dans l’histoire des mathématiques, comme nous l’avons vu plus haut, avec l’invention du zéro, des chiffres « arabes », etc. L’importante tradition des mathématiques dans le pays repose-t-elle sur une approche particulière des mathématiques, que l’on peut retrouver chez les physiciens interrogés ? D’après le physicien K.M, il y a cinquante ans, à l’époque de son père et de son grand-père, les mathématiques étaient enseignées avec le sanskrit. Il s’agissait d’une même filière pour l’équivalent de leur bac. Les mathématiques étaient considérées comme une discipline littéraire. Pour lui, s’il y a beaucoup de mathématiciens en Inde, à cause de la tradition sanskrite, jointe à la tradition de logique, plus la sacralisation des mathématiques. Que veut-il dire par « sacralisation des mathématiques » ? Le physicien L.X développe : « les chiffres ont quand même un statut particulier en Inde, c’est quelque chose de culturel, on a une grande image des mathématiciens anciens, on apprend à l’école Aryabatha, Bramaghupta, etc. Et puis il y aussi un usage développé de la numérologie. Et on a inventé les chiffres, le zero. Il y aussi une école médiévale de mathématiques au Kerala, qui a utilisé les équations différentielles, bien avant Leibniz, etc. L’esprit indien (Indian mindset) est orienté vers la sacralisation des chiffres : astrologie, numérologie, etc ». L.T estime qu’il existe une longue tradition de mathématiciens et qu’ils représentent un modèle à suivre. Mais pour lui, les mathématiques sont développées parce qu’il s’agit d’une connaissance accessible pour un pays peu développé économiquement. Elles garantissent un bon emploi, dans l’ingénierie ou le commerce, sans coût important pour leur enseignement. Pourtant, même si cet argument a du poids, on n’obeserve pas, dans les autres pays en développement, une telle importance accordée aux mathématiques. N’y a-t-il pas une autre raison ? L’Inde est considérée par de nombreux indianistes comme une culture idéaliste. Pour Masson par exemple (1925), l’idéalisme parcourt toutes les stratifications de la réflexion indienne, depuis les premiers âges». L’idée de l’Inde « idéaliste » a aussi été défendue par le spécialiste de l’Inde Max Muller entre autres. L’idéalisme se rapproche du platonisme, dans lequel le monde des idées -en particulier des idées mathématiques- existe indépendament de l’esprit humain. Ce qui pourrait expliquer cette « sacralisation des mathématiques ». Mais, dans un entretien avec le philosophe Sundar Sarukkai, celui-ci explique qu’en Inde, les mathématiques ne sont pas traditionnellement et historiquement associées à une vue platonique, c’est plus un outil empirique. « In ancient traditions, mathematiciens and philosophers were not dealing with each others. They were not really aware of their respectiv work. » Pour ce philosophe donc, les anciennes traditions de mathématiques étaient empiriques, plus qu’idéalistes. Donc, sur ce point, nous ne pouvons pas dégager de trait fort sur la pensée traditionnelle indienne.

 

 

[1] Par exemple par (Lambert 1988). Il montre que pour répondre, il faut se plonger dans l’histoire des mathématiques. On découvre alors une sorte d’interaction bilatérale autostimulante, avec des phases de développement autonome. Les interactions peuvent sauter les décennies voire les siècles. Quand Riemann développe les espaces courbes vers 1850 ­ c’est de la géométrie pure ­ il faut attendre trois décennies pour que la physique s’en empare avec la relativité générale d’Einstein. Du fait de ce décalage, si l’on isole l’une de ces phases, on voit un mathématicien qui se pose des questions pour elles-mêmes, et des domaines très riches semblent se développer tous seuls. Mais si l’on élargit le regard, on voit que, historiquement, les mathématiques ne seraient pas parvenues seules à leur développement actuel. Dans les années 70 et 80, les théories du chaos et des systèmes dynamiques ont été stimulés par la météo ou la volonté de comprendre la turbulence.

[2] Pour le platonnisme, développé par Platon, il existe des entités intelligibles en soi, dont le contenu est indépendant de la contingence de l’expérience sensible. Cette théorie est une des réponses possibles, à la question du statut ontologique des concepts cognitifs (idées, nombres, …). Platon défend une posture dite idéaliste. Pour l’idéaliste, le monde est la réalité de l’esprit et l’esprit est, en définitive, la seule réalité. C’est pourquoi on peut aussi soutenir que l’esprit, quand il mathématise le réel, ne fait jamais que s’appliquer à lui-même ses principes mathématiques. Aristote défend une thèse dite empiriste. Cette thèse consiste à dire que l’application des notions mathématiques au réel n’aurait rien d’extraordinaire en ce sens que les notions mathématiques dériveraient déjà de l’expérience sensible, au moins par la médiation de l’intuition sensible. L’esprit, en cette affaire, ne ferait que rendre au réel son bien. Cette thèse possède des critiques notables (nous ne les développons ici) (Huet 1997). Les deux approches possèdent une part de vérité. Le tort d’Aristote est de croire que toutes les mathématiques sont simplement dérivées du réel. Le tort de Platon est de croire que toutes les mathématiques existent dans un univers autonome par rapport au réel. Ces critiques qu’elles aillent dans un sens ou bien dans l’autre reposent surtout sur le fait que le réel ne s’adapte pas toujours très bien aux structures mathématiques, et inversement.

 


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